解放軍文職招聘考試方程與線性代數(shù)-解放軍文職人員招聘-軍隊(duì)文職考試-紅師教育

發(fā)布時(shí)間:2017-11-22 19:38:23方程與線性代數(shù)直到18世紀(jì),方程與代數(shù)學(xué)幾乎是同義語.18世紀(jì),人們對(duì)方程所關(guān)注的問題之一是證明每一個(gè)一元n次方程有n個(gè)根,同時(shí)人們?cè)诓?否任何實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式都能分解成線性因式的乘積,解決這個(gè)問題的關(guān)鍵就在于證明:每一個(gè)一元n次多項(xiàng)式至少有一個(gè)實(shí)根或復(fù)根,這就是我們今天熟悉的代數(shù)學(xué)基本定理.歐拉、達(dá)朗貝爾、拉格朗日在18世紀(jì)70年代都試圖證明這個(gè)定理,但他們的證明都不完全正確.第一個(gè)對(duì)代數(shù)基本定理做出嚴(yán)格證明的是德國數(shù)學(xué)家高斯,他的證明是1799年在其博士論文中給出的.其方法不是去計(jì)算一個(gè)根,而是去證明它的存在.他的證明富有高度創(chuàng)造性,開創(chuàng)了探討數(shù)學(xué)中整個(gè)存在性問題的新途徑,打破了存在的準(zhǔn)則就是可構(gòu)造性的傳統(tǒng)觀念,對(duì)于19世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展具有重要意義.在數(shù)學(xué)中,開始了構(gòu)造性數(shù)學(xué)與非構(gòu)造性數(shù)學(xué)并駕齊驅(qū)的時(shí)代.人們對(duì)方程感興趣的另一個(gè)原因,是試圖求解四次以上的方程.這一時(shí)期人們?cè)褑栴}集中在求解二項(xiàng)方程xn-1=0上.科茨和棣莫弗用復(fù)數(shù)證明了:解這個(gè)方程相當(dāng)于把圓周分成n等分.于是人們又稱xn-1=0為分圓方程.關(guān)于這個(gè)方程的有價(jià)值的工作是高斯在19世紀(jì)作出的.求解一般的四次方程問題引起了歐拉、拉格朗日等人的關(guān)注,其中拉格朗日和范德蒙(A.Vandermonde,1735 1796)作出了杰出的貢獻(xiàn).對(duì)于用根式解方程的問題,從1767年起拉格朗日寫了一系列論文.他的做法是,看是否有一種普遍的方法,能把任意次數(shù)的方程化為次數(shù)較低的方程.經(jīng)過詳盡的研究,他發(fā)現(xiàn),對(duì)于二次、三次或四次方程,借助于一個(gè)低一次的 輔助 方程便可獲得方程之解,但把這種方法用于方程ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0時(shí),輔助方程卻是六次的,因此他想大概不能求得四次以上方程的解.隨后拉格朗日又換一個(gè)角度,轉(zhuǎn)而研究一般方程xn+a1xn-1+ +an-1x+an=0的根x1,x2, ,xn的函數(shù)(x1,x2, ,xn)的置換對(duì)稱等性質(zhì).作為19世紀(jì)數(shù)學(xué)家的先驅(qū),18世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家研究了方程根的性質(zhì).設(shè)x1,x2, ,xn是方程xn+a1xn-1+ +an-1x+an=0的根.令Sk=x1k+x2k+ +xnk,牛頓得到了今天稱之為 牛頓等式 的結(jié)果:1762年,華林(E.Waring,1734 1798)證明了,所有關(guān)于根的有理對(duì)稱函數(shù)都可以表示為方程系數(shù)的有理函數(shù),并得到了:牛頓還得到了方程的根與其判別式D的關(guān)系:其中x1,x2, ,xn是方程a0xn+a1xn-1+ +an-1x+an=0的根.此外,范德蒙等人也進(jìn)行了大量的工作.18世紀(jì)由方程的研究引入了對(duì)方程根x1,x2, ,xn所生成的函數(shù)的研究,并由此引入了初等對(duì)稱、置換等一系列新的術(shù)語.所有這些工作,都為19世紀(jì)代數(shù)學(xué)的巨大發(fā)展做好了充分準(zhǔn)備.在1678年以前,萊布尼茨就開始了對(duì)線性方程組、行列式的研究,對(duì)消元法從理論上進(jìn)行了探討.在1693年4月28日致洛必達(dá)(G.F.A.L Hospital)的信中,他提出了行列式的概念: 我引進(jìn)方程:此外,在兩個(gè)數(shù)碼中,前者表示此數(shù)所屬的方程式,后者代表此數(shù)所屬的字母(未知數(shù)). 隨后,他給出了一般的運(yùn)算規(guī)則,這種規(guī)則就是行列式的運(yùn)算規(guī)則.這樣,他創(chuàng)設(shè)了采用兩個(gè)數(shù)碼的系數(shù)記號(hào),相當(dāng)于現(xiàn)在的aik,即上述方程組中的10,11,12, ,31,32為a10,a11,a12, ,a31,a32.為矩陣和行列式一般理論的發(fā)展提供了方便的工具.沿著萊布尼茨的思路,18世紀(jì)人們做了發(fā)揮.1729年左右馬克勞林提出了用行列式解含有兩個(gè)、三個(gè)和四個(gè)未知量的聯(lián)立線性方程組的解法.1750年,克萊姆(G.Cramer,1704 1752)在《線性代數(shù)分析導(dǎo)言》一書中給出了今天我們熟知的行列式展開的 克萊姆法則(公式) .1764年,貝祖(E.B zout,1730(或1739) 1783)用行列式理論建立了線性方程組的一般理論,他給出了含n個(gè)量的n個(gè)齊次線性方程,并且證明了:系數(shù)行列式等于零是方程組有非零解的條件.范德蒙第一個(gè)系統(tǒng)研究了行列式理論,而不像其他人一樣僅僅把行列式作為求解方程組的工具.他給出了用行列式的二階子式和余子式展開行列式的規(guī)則.由于他脫離方程組來研究行列式,因此他被認(rèn)為是行列式理論的奠基人.1772年,拉普拉斯給出了今天的拉普拉斯定理:假定在n階行列式D中,取定某k個(gè)行(1 k n),那么在這k個(gè)行中所有k階子式分別與其代數(shù)余子式乘積的和就是D.18世紀(jì)數(shù)學(xué)家們討論了多元高次方程組,這個(gè)問題是由研究高次代數(shù)曲線f(x,y)=0,g(x,y)=0的交點(diǎn)數(shù)而引起的.1764年,貝祖給出了從f(x,y)=0,g(x,y)=0中消去一個(gè)未知量的方法,并于1779年公布于眾.貝祖給出了解決這個(gè)問題的消元法,并得到了這樣的結(jié)論:兩條代數(shù)曲線的交點(diǎn)數(shù)是m n,即f(x,y)=0,g(x,y)=0的次數(shù)的乘積.18世紀(jì),數(shù)學(xué)家們還考慮了求解兩個(gè)多項(xiàng)式f(x)=a0xn+a1xn-1+ +an=0,有公共解的條件:關(guān)于有公共解時(shí)系數(shù)必須滿足的條件稱為消去式或結(jié)式.牛頓第一個(gè)研究了這個(gè)問題,他在1707年出版的《普遍的算術(shù)》中給出了從兩個(gè)方程中消去x的法則.歐拉、貝祖后來給出了更一般的方法.在1764~1769年的《數(shù)學(xué)教程》(Coursde math matique)中,貝祖給出了一般的方法:f(x), (x)的結(jié)式等于一個(gè)行列式,這個(gè)行列式由n-1次(或更低次)的多項(xiàng)式gk(x)=(a0xk-1+a1xk-2+ +ak-1) (x)-(b0xk-1+b1xk-2+ +bk-1)f(x)(k=1,2, ,n)的系數(shù)組成.這就是今天熟知的貝祖方法.在整個(gè)18世紀(jì),線性代數(shù)主要是行列式理論和消元法理論,這兩個(gè)理論在這個(gè)世紀(jì)還是很有成就的.由于牛頓、歐拉、貝祖、拉格朗日、拉普拉斯的工作,具體解方程(一元高次方程,多元高次方程組,線性方程組)的方法在18世紀(jì)已相當(dāng)完備了.而整個(gè)線性代數(shù)則處于萌芽起步階段.